Issolvi {l}{5x-4y=11}{3x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 11 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11} \approx 2.272727273$$

$$y=\frac{1}{11}\approx 0.090909091$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-4y=11$$

Żid 4y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=4y+11$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+11\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'4y+11.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}$$

Issostitwixxi \frac{4y+11}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+2y=7.

$$3\left(\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}\right)+2y=7$$

Immultiplika 3 b'\frac{4y+11}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{33}{5}+2y=7$$

Żid \frac{12y}{5} ma' 2y.

$$\frac{22}{5}y+\frac{33}{5}=7$$

Naqqas \frac{33}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{22}{5}y=\frac{2}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{22}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{1}{11}$$

Issostitwixxi \frac{1}{11} għal y f'x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{1}{11}+\frac{11}{5}$$

Immultiplika \frac{4}{5} b'\frac{1}{11} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{4}{55}+\frac{11}{5}$$

Żid \frac{11}{5} ma' \frac{4}{55} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{25}{11}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), biex l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala l-problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 11+\frac{2}{11}\times 7\\-\frac{3}{22}\times 11+\frac{5}{22}\times 7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{11}\\\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Biex tagħmel 5x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 11,5\times 3x+5\times 2y=5\times 7$$

Issimplifika.

$$15x-12y=33,15x+10y=35$$

Naqqas 15x+10y=35 minn 15x-12y=33 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$15x-15x-12y-10y=33-35$$

Żid 15x ma' -15x. 15x u -15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-12y-10y=33-35$$

Żid -12y ma' -10y.

$$-22y=33-35$$

Żid 33 ma' -35.

$$-22y=-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-22.

$$y=\frac{1}{11}$$

Issostitwixxi \frac{1}{11} għal y f'3x+2y=7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+2\times \frac{1}{11}=7$$

Immultiplika 2 b'\frac{1}{11}.

$$3x+\frac{2}{11}=7$$

Naqqas \frac{2}{11} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{75}{11}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{25}{11}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$