Issolvi {l}{5x-3y=28}{12x+4y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 28 } \\ { 12 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=-6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-3y=28$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=3y+28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+28\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'3y+28.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}$$

Issostitwixxi \frac{3y+28}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 12x+4y=0.

$$12\left(\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}\right)+4y=0$$

Immultiplika 12 b'\frac{3y+28}{5}.

$$\frac{36}{5}y+\frac{336}{5}+4y=0$$

Żid \frac{36y}{5} ma' 4y.

$$\frac{56}{5}y+\frac{336}{5}=0$$

Naqqas \frac{336}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{56}{5}y=-\frac{336}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{56}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-6$$

Issostitwixxi -6 għal y f'x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{5}\left(-6\right)+\frac{28}{5}$$

Immultiplika \frac{3}{5} b'-6.

$$x=\frac{-18+28}{5}$$

Żid \frac{28}{5} ma' -\frac{18}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=-6$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{56}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{56}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 28\\-\frac{3}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=-6$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Biex tagħmel 5x u 12x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'12 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$12\times 5x+12\left(-3\right)y=12\times 28,5\times 12x+5\times 4y=0$$

Issimplifika.

$$60x-36y=336,60x+20y=0$$

Naqqas 60x+20y=0 minn 60x-36y=336 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$60x-60x-36y-20y=336$$

Żid 60x ma' -60x. 60x u -60x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-36y-20y=336$$

Żid -36y ma' -20y.

$$-56y=336$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-56.

$$y=-6$$

Issostitwixxi -6 għal y f'12x+4y=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$12x+4\left(-6\right)=0$$

Immultiplika 4 b'-6.

$$12x-24=0$$

Żid 24 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$12x=24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'12.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=-6$$