Issolvi {l}{5x-2y=14}{3x+7y=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 14 } \\ { 3 x + 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{140}{41} = 3\frac{17}{41} \approx 3.414634146$$

$$y = \frac{63}{41} = 1\frac{22}{41} \approx 1.536585366$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-2y=14$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=2y+14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+14\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'14+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}$$

Issostitwixxi \frac{14+2y}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x+7y=21.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}\right)+7y=21$$

Immultiplika 3 b'\frac{14+2y}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{42}{5}+7y=21$$

Żid \frac{6y}{5} ma' 7y.

$$\frac{41}{5}y+\frac{42}{5}=21$$

Naqqas \frac{42}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{41}{5}y=\frac{63}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{41}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{63}{41}$$

Issostitwixxi \frac{63}{41} għal y f'x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{63}{41}+\frac{14}{5}$$

Immultiplika \frac{2}{5} b'\frac{63}{41} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{126}{205}+\frac{14}{5}$$

Żid \frac{14}{5} ma' \frac{126}{205} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{140}{41}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}&\frac{2}{41}\\-\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}\times 14+\frac{2}{41}\times 21\\-\frac{3}{41}\times 14+\frac{5}{41}\times 21\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{41}\\\frac{63}{41}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Biex tagħmel 5x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\times 7y=5\times 21$$

Issimplifika.

$$15x-6y=42,15x+35y=105$$

Naqqas 15x+35y=105 minn 15x-6y=42 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$15x-15x-6y-35y=42-105$$

Żid 15x ma' -15x. 15x u -15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-6y-35y=42-105$$

Żid -6y ma' -35y.

$$-41y=42-105$$

Żid 42 ma' -105.

$$-41y=-63$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-41.

$$y=\frac{63}{41}$$

Issostitwixxi \frac{63}{41} għal y f'3x+7y=21. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x+7\times \frac{63}{41}=21$$

Immultiplika 7 b'\frac{63}{41}.

$$3x+\frac{441}{41}=21$$

Naqqas \frac{441}{41} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{420}{41}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{140}{41}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$