Issolvi {l}{5x+7y=2060}{1020=2060-(2x+4y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 2060 } \\ { 1020 = 2060 - ( 2 x + 4 y ) } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=160$$

$$y=180$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Biex issib l-oppost ta' 2x+4y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$1020=2060-2x-4y$$

Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$2060-2x-4y=1020$$

Naqqas 2060 miż-żewġ naħat.

$$-2x-4y=1020-2060$$

Naqqas 2060 minn 1020 biex tikseb -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+7y=2060$$

Naqqas 7y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-7y+2060$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+2060\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-7y+2060.

$$x=-\frac{7}{5}y+412$$

Issostitwixxi -\frac{7y}{5}+412 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x-4y=-1040.

$$-2\left(-\frac{7}{5}y+412\right)-4y=-1040$$

Immultiplika -2 b'-\frac{7y}{5}+412.

$$\frac{14}{5}y-824-4y=-1040$$

Żid \frac{14y}{5} ma' -4y.

$$-\frac{6}{5}y-824=-1040$$

Żid 824 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{6}{5}y=-216$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{6}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=180$$

Issostitwixxi 180 għal y f'x=-\frac{7}{5}y+412. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{7}{5}\times 180+412$$

Immultiplika -\frac{7}{5} b'180.

$$x=-252+412$$

Żid 412 ma' -252.

$$x=160$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=160,y=180$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Biex issib l-oppost ta' 2x+4y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$1020=2060-2x-4y$$

Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$2060-2x-4y=1020$$

Naqqas 2060 miż-żewġ naħat.

$$-2x-4y=1020-2060$$

Naqqas 2060 minn 1020 biex tikseb -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&-\frac{7}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2060+\frac{7}{6}\left(-1040\right)\\-\frac{1}{3}\times 2060-\frac{5}{6}\left(-1040\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}160\\180\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=160,y=180$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Biex issib l-oppost ta' 2x+4y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$1020=2060-2x-4y$$

Ibdel in-naħat sabiex it-termini varjabbli kollha jkunu fuq in-naħa tax-xellug.

$$2060-2x-4y=1020$$

Naqqas 2060 miż-żewġ naħat.

$$-2x-4y=1020-2060$$

Naqqas 2060 minn 1020 biex tikseb -1040.

$$-2x-4y=-1040$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

Biex tagħmel 5x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-2\times 5x-2\times 7y=-2\times 2060,5\left(-2\right)x+5\left(-4\right)y=5\left(-1040\right)$$

Issimplifika.

$$-10x-14y=-4120,-10x-20y=-5200$$

Naqqas -10x-20y=-5200 minn -10x-14y=-4120 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-10x+10x-14y+20y=-4120+5200$$

Żid -10x ma' 10x. -10x u 10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-14y+20y=-4120+5200$$

Żid -14y ma' 20y.

$$6y=-4120+5200$$

Żid -4120 ma' 5200.

$$6y=1080$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$y=180$$

Issostitwixxi 180 għal y f'-2x-4y=-1040. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x-4\times 180=-1040$$

Immultiplika -4 b'180.

$$-2x-720=-1040$$

Żid 720 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=-320$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=160$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=160,y=180$$