Issolvi {l}{5x+6y=32}{3x-2y=-20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 32 } \\ { 3 x - 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+6y=32$$

Naqqas 6y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-6y+32$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+32\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-6y+32.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-6y+32}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-2y=-20.

$$3\left(-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5}\right)-2y=-20$$

Immultiplika 3 b'\frac{-6y+32}{5}.

$$-\frac{18}{5}y+\frac{96}{5}-2y=-20$$

Żid -\frac{18y}{5} ma' -2y.

$$-\frac{28}{5}y+\frac{96}{5}=-20$$

Naqqas \frac{96}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{28}{5}y=-\frac{196}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{28}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'x=-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{6}{5}\times 7+\frac{32}{5}$$

Immultiplika -\frac{6}{5} b'7.

$$x=\frac{-42+32}{5}$$

Żid \frac{32}{5} ma' -\frac{42}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-6\times 3}&-\frac{6}{5\left(-2\right)-6\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-6\times 3}&\frac{5}{5\left(-2\right)-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\\frac{3}{28}&-\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 32+\frac{3}{14}\left(-20\right)\\\frac{3}{28}\times 32-\frac{5}{28}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-2,y=7$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

Biex tagħmel 5x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$3\times 5x+3\times 6y=3\times 32,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-20\right)$$

Issimplifika.

$$15x+18y=96,15x-10y=-100$$

Naqqas 15x-10y=-100 minn 15x+18y=96 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$15x-15x+18y+10y=96+100$$

Żid 15x ma' -15x. 15x u -15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$18y+10y=96+100$$

Żid 18y ma' 10y.

$$28y=96+100$$

Żid 96 ma' 100.

$$28y=196$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'28.

$$y=7$$

Issostitwixxi 7 għal y f'3x-2y=-20. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-2\times 7=-20$$

Immultiplika -2 b'7.

$$3x-14=-20$$

Żid 14 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=7$$