Issolvi {l}{5x+5y=15}{4x+10y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+5y=15$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-5y+15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+15\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-5y+15.

$$x=-y+3$$

Issostitwixxi -y+3 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+10y=-2.

$$4\left(-y+3\right)+10y=-2$$

Immultiplika 4 b'-y+3.

$$-4y+12+10y=-2$$

Żid -4y ma' 10y.

$$6y+12=-2$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6y=-14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$y=-\frac{7}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{7}{3} għal y f'x=-y+3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\left(-\frac{7}{3}\right)+3$$

Immultiplika -1 b'-\frac{7}{3}.

$$x=\frac{7}{3}+3$$

Żid 3 ma' \frac{7}{3}.

$$x=\frac{16}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{5\times 10-5\times 4}&-\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\\-\frac{4}{5\times 10-5\times 4}&\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15-\frac{1}{6}\left(-2\right)\\-\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Biex tagħmel 5x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$4\times 5x+4\times 5y=4\times 15,5\times 4x+5\times 10y=5\left(-2\right)$$

Issimplifika.

$$20x+20y=60,20x+50y=-10$$

Naqqas 20x+50y=-10 minn 20x+20y=60 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$20x-20x+20y-50y=60+10$$

Żid 20x ma' -20x. 20x u -20x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$20y-50y=60+10$$

Żid 20y ma' -50y.

$$-30y=60+10$$

Żid 60 ma' 10.

$$-30y=70$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-30.

$$y=-\frac{7}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{7}{3} għal y f'4x+10y=-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+10\left(-\frac{7}{3}\right)=-2$$

Immultiplika 10 b'-\frac{7}{3}.

$$4x-\frac{70}{3}=-2$$

Żid \frac{70}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=\frac{64}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{16}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$