Issolvi {l}{5x+4y=-3}{6x+3y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = - 3 } \\ { 6 x + 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{1}{9}\approx 0.111111111$$

$$y=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+4y=-3$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-4y-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y-3\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-4y-3.

$$x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-4y-3}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x+3y=-2.

$$6\left(-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=-2$$

Immultiplika 6 b'\frac{-4y-3}{5}.

$$-\frac{24}{5}y-\frac{18}{5}+3y=-2$$

Żid -\frac{24y}{5} ma' 3y.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{18}{5}=-2$$

Żid \frac{18}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{9}{5}y=\frac{8}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{9}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{8}{9}$$

Issostitwixxi -\frac{8}{9} għal y f'x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-\frac{8}{9}\right)-\frac{3}{5}$$

Immultiplika -\frac{4}{5} b'-\frac{8}{9} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{32}{45}-\frac{3}{5}$$

Żid -\frac{3}{5} ma' \frac{32}{45} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{1}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{4}{9}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{5}{9}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\\-\frac{8}{9}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

Biex tagħmel 5x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$6\times 5x+6\times 4y=6\left(-3\right),5\times 6x+5\times 3y=5\left(-2\right)$$

Issimplifika.

$$30x+24y=-18,30x+15y=-10$$

Naqqas 30x+15y=-10 minn 30x+24y=-18 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$30x-30x+24y-15y=-18+10$$

Żid 30x ma' -30x. 30x u -30x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$24y-15y=-18+10$$

Żid 24y ma' -15y.

$$9y=-18+10$$

Żid -18 ma' 10.

$$9y=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$y=-\frac{8}{9}$$

Issostitwixxi -\frac{8}{9} għal y f'6x+3y=-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x+3\left(-\frac{8}{9}\right)=-2$$

Immultiplika 3 b'-\frac{8}{9}.

$$6x-\frac{8}{3}=-2$$

Żid \frac{8}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=\frac{2}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$