Issolvi {l}{5x+2y=-6}{2x+5y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 6 } \\ { 2 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{46}{21} = -2\frac{4}{21} \approx -2.19047619$$

$$y = \frac{52}{21} = 2\frac{10}{21} \approx 2.476190476$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+2y=-6$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-2y-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-2y-6.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-2y-6}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+5y=8.

$$2\left(-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}\right)+5y=8$$

Immultiplika 2 b'\frac{-2y-6}{5}.

$$-\frac{4}{5}y-\frac{12}{5}+5y=8$$

Żid -\frac{4y}{5} ma' 5y.

$$\frac{21}{5}y-\frac{12}{5}=8$$

Żid \frac{12}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{21}{5}y=\frac{52}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{21}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{52}{21}$$

Issostitwixxi \frac{52}{21} għal y f'x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{52}{21}-\frac{6}{5}$$

Immultiplika -\frac{2}{5} b'\frac{52}{21} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{104}{105}-\frac{6}{5}$$

Żid -\frac{6}{5} ma' -\frac{104}{105} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=-\frac{46}{21}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}&\frac{5}{5\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&-\frac{2}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\left(-6\right)-\frac{2}{21}\times 8\\-\frac{2}{21}\left(-6\right)+\frac{5}{21}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{46}{21}\\\frac{52}{21}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

Biex tagħmel 5x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\left(-6\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 8$$

Issimplifika.

$$10x+4y=-12,10x+25y=40$$

Naqqas 10x+25y=40 minn 10x+4y=-12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x+4y-25y=-12-40$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4y-25y=-12-40$$

Żid 4y ma' -25y.

$$-21y=-12-40$$

Żid -12 ma' -40.

$$-21y=-52$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-21.

$$y=\frac{52}{21}$$

Issostitwixxi \frac{52}{21} għal y f'2x+5y=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+5\times \frac{52}{21}=8$$

Immultiplika 5 b'\frac{52}{21}.

$$2x+\frac{260}{21}=8$$

Naqqas \frac{260}{21} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-\frac{92}{21}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-\frac{46}{21}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$