Issolvi {l}{5x+10y=-70}{-8x+30y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 10 y = - 70 } \\ { - 8 x + 30 y = 20 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-10$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+10y=-70$$

Naqqas 10y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-10y-70$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-10y-70\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-10y-70.

$$x=-2y-14$$

Issostitwixxi -2y-14 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -8x+30y=20.

$$-8\left(-2y-14\right)+30y=20$$

Immultiplika -8 b'-2y-14.

$$16y+112+30y=20$$

Żid 16y ma' 30y.

$$46y+112=20$$

Naqqas 112 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$46y=-92$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'46.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=-2y-14. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\left(-2\right)-14$$

Immultiplika -2 b'-2.

$$x=4-14$$

Żid -14 ma' 4.

$$x=-10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-10,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{5\times 30-10\left(-8\right)}&-\frac{10}{5\times 30-10\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{5\times 30-10\left(-8\right)}&\frac{5}{5\times 30-10\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{4}{115}&\frac{1}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\left(-70\right)-\frac{1}{23}\times 20\\\frac{4}{115}\left(-70\right)+\frac{1}{46}\times 20\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-10,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Biex tagħmel 5x u -8x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-8 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-8\times 5x-8\times 10y=-8\left(-70\right),5\left(-8\right)x+5\times 30y=5\times 20$$

Issimplifika.

$$-40x-80y=560,-40x+150y=100$$

Naqqas -40x+150y=100 minn -40x-80y=560 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-40x+40x-80y-150y=560-100$$

Żid -40x ma' 40x. -40x u 40x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-80y-150y=560-100$$

Żid -80y ma' -150y.

$$-230y=560-100$$

Żid 560 ma' -100.

$$-230y=460$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-230.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'-8x+30y=20. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-8x+30\left(-2\right)=20$$

Immultiplika 30 b'-2.

$$-8x-60=20$$

Żid 60 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-8x=80$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$x=-10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-10,y=-2$$