Issolvi {l}{5x+1y=2}{2x-5y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 1 y = 2 } \\ { 2 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{4}{9}\approx 0.444444444$$

$$y=-\frac{2}{9}\approx -0.222222222$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+y=2$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-y+2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+2\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-y+2.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-y+2}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-5y=2.

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}\right)-5y=2$$

Immultiplika 2 b'\frac{-y+2}{5}.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-5y=2$$

Żid -\frac{2y}{5} ma' -5y.

$$-\frac{27}{5}y+\frac{4}{5}=2$$

Naqqas \frac{4}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{27}{5}y=\frac{6}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{27}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{2}{9}$$

Issostitwixxi -\frac{2}{9} għal y f'x=-\frac{1}{5}y+\frac{2}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-\frac{2}{9}\right)+\frac{2}{5}$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'-\frac{2}{9} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{2}{45}+\frac{2}{5}$$

Żid \frac{2}{5} ma' \frac{2}{45} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{4}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{5\left(-5\right)-2}&-\frac{1}{5\left(-5\right)-2}\\-\frac{2}{5\left(-5\right)-2}&\frac{5}{5\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}&\frac{1}{27}\\\frac{2}{27}&-\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}\times 2+\frac{1}{27}\times 2\\\frac{2}{27}\times 2-\frac{5}{27}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+y=2,2x-5y=2$$

Biex tagħmel 5x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$2\times 5x+2y=2\times 2,5\times 2x+5\left(-5\right)y=5\times 2$$

Issimplifika.

$$10x+2y=4,10x-25y=10$$

Naqqas 10x-25y=10 minn 10x+2y=4 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x+2y+25y=4-10$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$2y+25y=4-10$$

Żid 2y ma' 25y.

$$27y=4-10$$

Żid 4 ma' -10.

$$27y=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'27.

$$y=-\frac{2}{9}$$

Issostitwixxi -\frac{2}{9} għal y f'2x-5y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-5\left(-\frac{2}{9}\right)=2$$

Immultiplika -5 b'-\frac{2}{9}.

$$2x+\frac{10}{9}=2$$

Naqqas \frac{10}{9} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=\frac{8}{9}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{4}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{4}{9},y=-\frac{2}{9}$$