Issolvi {l}{5x+(5i)y=100}{(5i)x+(5-10i)y=60+80i}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + ( 5 i ) y = 100 } \\ { ( 5 i ) x + ( 5 - 10 i ) y = 60 + 80 i } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=22-4i$$

$$y=4+2i$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+5iy=100$$

Naqqas 5iy miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-5iy+100$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5iy+100\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-5iy+100.

$$x=-iy+20$$

Issostitwixxi -iy+20 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i.

$$5i\left(-iy+20\right)+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

Immultiplika 5i b'-iy+20.

$$5y+100i+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

Żid 5y ma' \left(5-10i\right)y.

$$\left(10-10i\right)y+100i=60+80i$$

Naqqas 100i miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(10-10i\right)y=60-20i$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10-10i.

$$y=4+2i$$

Issostitwixxi 4+2i għal y f'x=-iy+20. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-i\left(4+2i\right)+20$$

Immultiplika -i b'4+2i.

$$x=2-4i+20$$

Żid 20 ma' 2-4i.

$$x=22-4i$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=22-4i,y=4+2i$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5i\\5i&5-10i\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5-10i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}&-\frac{5i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}\\-\frac{5i}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}&\frac{5}{5\left(5-10i\right)-5i\times \left(5i\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}-\frac{1}{20}i&\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\\\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i&\frac{1}{20}+\frac{1}{20}i\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\60+80i\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(\frac{3}{20}-\frac{1}{20}i\right)\times 100+\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\right)\left(60+80i\right)\\\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{20}i\right)\times 100+\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{20}i\right)\left(60+80i\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22-4i\\4+2i\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=22-4i,y=4+2i$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+5iy=100,5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i$$

Biex tagħmel 5x u 5ix ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5i u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$5i\times 5x+5i\times \left(5i\right)y=5i\times 100,5\times \left(5i\right)x+5\left(5-10i\right)y=5\left(60+80i\right)$$

Issimplifika.

$$25ix-25y=500i,25ix+\left(25-50i\right)y=300+400i$$

Naqqas 25ix+\left(25-50i\right)y=300+400i minn 25ix-25y=500i billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$25ix-25ix-25y+\left(-25+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

Żid 25ix ma' -25ix. 25ix u -25ix jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-25y+\left(-25+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

Żid -25y ma' \left(-25+50i\right)y.

$$\left(-50+50i\right)y=500i+\left(-300-400i\right)$$

Żid 500i ma' -300-400i.

$$\left(-50+50i\right)y=-300+100i$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-50+50i.

$$y=4+2i$$

Issostitwixxi 4+2i għal y f'5ix+\left(5-10i\right)y=60+80i. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5ix+\left(5-10i\right)\left(4+2i\right)=60+80i$$

Immultiplika 5-10i b'4+2i.

$$5ix+\left(40-30i\right)=60+80i$$

Naqqas 40-30i miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5ix=20+110i$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5i.

$$x=22-4i$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=22-4i,y=4+2i$$