Issolvi {l}{5(m-1)=3(n+3)}{2(m+1)=3(n-3)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 ( m - 1 ) = 3 ( n + 3 ) } \\ { 2 ( m + 1 ) = 3 ( n - 3 ) } \end{array} \right.$$

Solvi għal m, n

$$m = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

$$n = \frac{83}{9} = 9\frac{2}{9} \approx 9.222222222$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'm-1.

$$5m-5=3\left(n+3\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'n+3.

$$5m-5=3n+9$$

Naqqas 3n miż-żewġ naħat.

$$5m-5-3n=9$$

Żid 5 maż-żewġ naħat.

$$5m-3n=9+5$$

Żid 9 u 5 biex tikseb 14.

$$5m-3n=14$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'm+1.

$$2m+2=3\left(n-3\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'n-3.

$$2m+2=3n-9$$

Naqqas 3n miż-żewġ naħat.

$$2m+2-3n=-9$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat.

$$2m-3n=-9-2$$

Naqqas 2 minn -9 biex tikseb -11.

$$2m-3n=-11$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5m-3n=14,2m-3n=-11$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal m billi tiżola m fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5m-3n=14$$

Żid 3n maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5m=3n+14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$m=\frac{1}{5}\left(3n+14\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'3n+14.

$$m=\frac{3}{5}n+\frac{14}{5}$$

Issostitwixxi \frac{3n+14}{5} għal m fl-ekwazzjoni l-oħra, 2m-3n=-11.

$$2\left(\frac{3}{5}n+\frac{14}{5}\right)-3n=-11$$

Immultiplika 2 b'\frac{3n+14}{5}.

$$\frac{6}{5}n+\frac{28}{5}-3n=-11$$

Żid \frac{6n}{5} ma' -3n.

$$-\frac{9}{5}n+\frac{28}{5}=-11$$

Naqqas \frac{28}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{9}{5}n=-\frac{83}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{9}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$n=\frac{83}{9}$$

Issostitwixxi \frac{83}{9} għal n f'm=\frac{3}{5}n+\frac{14}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$m=\frac{3}{5}\times \frac{83}{9}+\frac{14}{5}$$

Immultiplika \frac{3}{5} b'\frac{83}{9} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$m=\frac{83}{15}+\frac{14}{5}$$

Żid \frac{14}{5} ma' \frac{83}{15} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$m=\frac{25}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=\frac{25}{3},n=\frac{83}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'm-1.

$$5m-5=3\left(n+3\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'n+3.

$$5m-5=3n+9$$

Naqqas 3n miż-żewġ naħat.

$$5m-5-3n=9$$

Żid 5 maż-żewġ naħat.

$$5m-3n=9+5$$

Żid 9 u 5 biex tikseb 14.

$$5m-3n=14$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'm+1.

$$2m+2=3\left(n-3\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'n-3.

$$2m+2=3n-9$$

Naqqas 3n miż-żewġ naħat.

$$2m+2-3n=-9$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat.

$$2m-3n=-9-2$$

Naqqas 2 minn -9 biex tikseb -11.

$$2m-3n=-11$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5m-3n=14,2m-3n=-11$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-11\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-11\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{5\left(-3\right)-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-3\right)-\left(-3\times 2\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-11\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{9}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-11\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 14-\frac{1}{3}\left(-11\right)\\\frac{2}{9}\times 14-\frac{5}{9}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{3}\\\frac{83}{9}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi m u n.

$$m=\frac{25}{3},n=\frac{83}{9}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 5 b'm-1.

$$5m-5=3\left(n+3\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'n+3.

$$5m-5=3n+9$$

Naqqas 3n miż-żewġ naħat.

$$5m-5-3n=9$$

Żid 5 maż-żewġ naħat.

$$5m-3n=9+5$$

Żid 9 u 5 biex tikseb 14.

$$5m-3n=14$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'm+1.

$$2m+2=3\left(n-3\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'n-3.

$$2m+2=3n-9$$

Naqqas 3n miż-żewġ naħat.

$$2m+2-3n=-9$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat.

$$2m-3n=-9-2$$

Naqqas 2 minn -9 biex tikseb -11.

$$2m-3n=-11$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5m-3n=14,2m-3n=-11$$

Naqqas 2m-3n=-11 minn 5m-3n=14 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$5m-2m-3n+3n=14+11$$

Żid -3n ma' 3n. -3n u 3n jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$5m-2m=14+11$$

Żid 5m ma' -2m.

$$3m=14+11$$

Żid 14 ma' 11.

$$3m=25$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$m=\frac{25}{3}$$

Issostitwixxi \frac{25}{3} għal m f'2m-3n=-11. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal n direttament.

$$2\times \frac{25}{3}-3n=-11$$

Immultiplika 2 b'\frac{25}{3}.

$$\frac{50}{3}-3n=-11$$

Naqqas \frac{50}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3n=-\frac{83}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$n=\frac{83}{9}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=\frac{25}{3},n=\frac{83}{9}$$