Issolvi {l}{48x+40y=1280}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 48 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=10$$

$$y=20$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$48x+40y=1280$$

Naqqas 40y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$48x=-40y+1280$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'48.

$$x=\frac{1}{48}\left(-40y+1280\right)$$

Immultiplika \frac{1}{48} b'-40y+1280.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}$$

Issostitwixxi -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}\right)+80y=2800$$

Immultiplika 120 b'-\frac{5y}{6}+\frac{80}{3}.

$$-100y+3200+80y=2800$$

Żid -100y ma' 80y.

$$-20y+3200=2800$$

Naqqas 3200 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-20y=-400$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-20.

$$y=20$$

Issostitwixxi 20 għal y f'x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{6}\times 20+\frac{80}{3}$$

Immultiplika -\frac{5}{6} b'20.

$$x=\frac{-50+80}{3}$$

Żid \frac{80}{3} ma' -\frac{50}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=10,y=20$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{48\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{48\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{48\times 80-40\times 120}&\frac{48}{48\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{1}{24}\times 2800\\\frac{1}{8}\times 1280-\frac{1}{20}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=10,y=20$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

Biex tagħmel 48x u 120x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'120 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'48.

$$120\times 48x+120\times 40y=120\times 1280,48\times 120x+48\times 80y=48\times 2800$$

Issimplifika.

$$5760x+4800y=153600,5760x+3840y=134400$$

Naqqas 5760x+3840y=134400 minn 5760x+4800y=153600 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$5760x-5760x+4800y-3840y=153600-134400$$

Żid 5760x ma' -5760x. 5760x u -5760x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4800y-3840y=153600-134400$$

Żid 4800y ma' -3840y.

$$960y=153600-134400$$

Żid 153600 ma' -134400.

$$960y=19200$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'960.

$$y=20$$

Issostitwixxi 20 għal y f'120x+80y=2800. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$120x+80\times 20=2800$$

Immultiplika 80 b'20.

$$120x+1600=2800$$

Naqqas 1600 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$120x=1200$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'120.

$$x=10$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=10,y=20$$