Issolvi {l}{44k+b=72}{48k+b=64}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 k + b = 72 } \\ { 48 k + b = 64 } \end{array} \right.$$

Solvi għal k, b

$$k=-2$$

$$b=160$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal k billi tiżola k fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$44k+b=72$$

Naqqas b miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$44k=-b+72$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'44.

$$k=\frac{1}{44}\left(-b+72\right)$$

Immultiplika \frac{1}{44} b'-b+72.

$$k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}$$

Issostitwixxi -\frac{b}{44}+\frac{18}{11} għal k fl-ekwazzjoni l-oħra, 48k+b=64.

$$48\left(-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}\right)+b=64$$

Immultiplika 48 b'-\frac{b}{44}+\frac{18}{11}.

$$-\frac{12}{11}b+\frac{864}{11}+b=64$$

Żid -\frac{12b}{11} ma' b.

$$-\frac{1}{11}b+\frac{864}{11}=64$$

Naqqas \frac{864}{11} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{11}b=-\frac{160}{11}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-11.

$$b=160$$

Issostitwixxi 160 għal b f'k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal k direttament.

$$k=-\frac{1}{44}\times 160+\frac{18}{11}$$

Immultiplika -\frac{1}{44} b'160.

$$k=\frac{-40+18}{11}$$

Żid \frac{18}{11} ma' -\frac{40}{11} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$k=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$k=-2,b=160$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{44-48}&-\frac{1}{44-48}\\-\frac{48}{44-48}&\frac{44}{44-48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 72+\frac{1}{4}\times 64\\12\times 72-11\times 64\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\160\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi k u b.

$$k=-2,b=160$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Naqqas 48k+b=64 minn 44k+b=72 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$44k-48k+b-b=72-64$$

Żid b ma' -b. b u -b jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$44k-48k=72-64$$

Żid 44k ma' -48k.

$$-4k=72-64$$

Żid 72 ma' -64.

$$-4k=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$k=-2$$

Issostitwixxi -2 għal k f'48k+b=64. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal b direttament.

$$48\left(-2\right)+b=64$$

Immultiplika 48 b'-2.

$$-96+b=64$$

Żid 96 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$b=160$$

Is-sistema issa solvuta.

$$k=-2,b=160$$