Issolvi {l}{4x-2y=8}{2x+y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 8 } \\ { 2 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x-2y=8$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=2y+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Issostitwixxi \frac{y}{2}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+y=2.

$$2\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=2$$

Immultiplika 2 b'\frac{y}{2}+2.

$$y+4+y=2$$

Żid y ma' y.

$$2y+4=2$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=\frac{1}{2}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-1.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

Żid 2 ma' -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

Biex tagħmel 4x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$2\times 4x+2\left(-2\right)y=2\times 8,4\times 2x+4y=4\times 2$$

Issimplifika.

$$8x-4y=16,8x+4y=8$$

Naqqas 8x+4y=8 minn 8x-4y=16 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8x-8x-4y-4y=16-8$$

Żid 8x ma' -8x. 8x u -8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-4y-4y=16-8$$

Żid -4y ma' -4y.

$$-8y=16-8$$

Żid 16 ma' -8.

$$-8y=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'2x+y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-1=2$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$