Issolvi {l}{4x+y=3}{3x-3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 3 } \\ { 3 x - 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{8}{15}\approx 0.533333333$$

$$y=\frac{13}{15}\approx 0.866666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+y=3$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-y+3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+3\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-y+3.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$$

Issostitwixxi \frac{-y+3}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 3x-3y=-1.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)-3y=-1$$

Immultiplika 3 b'\frac{-y+3}{4}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}-3y=-1$$

Żid -\frac{3y}{4} ma' -3y.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{9}{4}=-1$$

Naqqas \frac{9}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{15}{4}y=-\frac{13}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{15}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{13}{15}$$

Issostitwixxi \frac{13}{15} għal y f'x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{13}{15}+\frac{3}{4}$$

Immultiplika -\frac{1}{4} b'\frac{13}{15} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{13}{60}+\frac{3}{4}$$

Żid \frac{3}{4} ma' -\frac{13}{60} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{8}{15}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-3\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-3\right)-3}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{15}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{15}\left(-1\right)\\\frac{1}{5}\times 3-\frac{4}{15}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{15}\\\frac{13}{15}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

Biex tagħmel 4x u 3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$3\times 4x+3y=3\times 3,4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\left(-1\right)$$

Issimplifika.

$$12x+3y=9,12x-12y=-4$$

Naqqas 12x-12y=-4 minn 12x+3y=9 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12x-12x+3y+12y=9+4$$

Żid 12x ma' -12x. 12x u -12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$3y+12y=9+4$$

Żid 3y ma' 12y.

$$15y=9+4$$

Żid 9 ma' 4.

$$15y=13$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'15.

$$y=\frac{13}{15}$$

Issostitwixxi \frac{13}{15} għal y f'3x-3y=-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$3x-3\times \frac{13}{15}=-1$$

Immultiplika -3 b'\frac{13}{15}.

$$3x-\frac{13}{5}=-1$$

Żid \frac{13}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=\frac{8}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{8}{15}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$