Issolvi {l}{4x+3y=71}{7x+5y=120}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 71 } \\ { 7 x + 5 y = 120 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y=17$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x+3y=71$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-3y+71$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+71\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-3y+71.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}$$

Issostitwixxi \frac{-3y+71}{4} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 7x+5y=120.

$$7\left(-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}\right)+5y=120$$

Immultiplika 7 b'\frac{-3y+71}{4}.

$$-\frac{21}{4}y+\frac{497}{4}+5y=120$$

Żid -\frac{21y}{4} ma' 5y.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{497}{4}=120$$

Naqqas \frac{497}{4} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{17}{4}$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-4.

$$y=17$$

Issostitwixxi 17 għal y f'x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{4}\times 17+\frac{71}{4}$$

Immultiplika -\frac{3}{4} b'17.

$$x=\frac{-51+71}{4}$$

Żid \frac{71}{4} ma' -\frac{51}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=17$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 7}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 7}\\-\frac{7}{4\times 5-3\times 7}&\frac{4}{4\times 5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 71+3\times 120\\7\times 71-4\times 120\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=17$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

Biex tagħmel 4x u 7x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$7\times 4x+7\times 3y=7\times 71,4\times 7x+4\times 5y=4\times 120$$

Issimplifika.

$$28x+21y=497,28x+20y=480$$

Naqqas 28x+20y=480 minn 28x+21y=497 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$28x-28x+21y-20y=497-480$$

Żid 28x ma' -28x. 28x u -28x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$21y-20y=497-480$$

Żid 21y ma' -20y.

$$y=497-480$$

Żid 497 ma' -480.

$$y=17$$

Issostitwixxi 17 għal y f'7x+5y=120. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$7x+5\times 17=120$$

Immultiplika 5 b'17.

$$7x+85=120$$

Naqqas 85 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x=35$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=17$$