Issolvi {l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

Solvi għal m, n

$$m=-2$$

$$n=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal m billi tiżola m fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4m+9n=-35$$

Naqqas 9n miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4m=-9n-35$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'-9n-35.

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

Issostitwixxi \frac{-9n-35}{4} għal m fl-ekwazzjoni l-oħra, 3m-8n=18.

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

Immultiplika 3 b'\frac{-9n-35}{4}.

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

Żid -\frac{27n}{4} ma' -8n.

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

Żid \frac{105}{4} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{59}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$n=-3$$

Issostitwixxi -3 għal n f'm=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

Immultiplika -\frac{9}{4} b'-3.

$$m=\frac{27-35}{4}$$

Żid -\frac{35}{4} ma' \frac{27}{4} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$m=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=-2,n=-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi m u n.

$$m=-2,n=-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Biex tagħmel 4m u 3m ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

Issimplifika.

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

Naqqas 12m-32n=72 minn 12m+27n=-105 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

Żid 12m ma' -12m. 12m u -12m jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$27n+32n=-105-72$$

Żid 27n ma' 32n.

$$59n=-105-72$$

Żid -105 ma' -72.

$$59n=-177$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'59.

$$n=-3$$

Issostitwixxi -3 għal n f'3m-8n=18. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

Immultiplika -8 b'-3.

$$3m+24=18$$

Naqqas 24 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3m=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$m=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=-2,n=-3$$