Issolvi {l}{4(2x-y)-7(2y+x)=-36}{-2(x+2)-7y=-18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( 2 x - y ) - 7 ( 2 y + x ) = - 36 } \\ { - 2 ( x + 2 ) - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -7 b'2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Ikkombina -4y u -14y biex tikseb -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

Ikkombina 8x u -7x biex tikseb x.

$$x-18y=-36$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

Żid 4 maż-żewġ naħat.

$$-2x-7y=-18+4$$

Żid -18 u 4 biex tikseb -14.

$$-2x-7y=-14$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x-18y=-36$$

Żid 18y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=18y-36$$

Issostitwixxi -36+18y għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x-7y=-14.

$$-2\left(18y-36\right)-7y=-14$$

Immultiplika -2 b'-36+18y.

$$-36y+72-7y=-14$$

Żid -36y ma' -7y.

$$-43y+72=-14$$

Naqqas 72 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-43y=-86$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-43.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'x=18y-36. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=18\times 2-36$$

Immultiplika 18 b'2.

$$x=36-36$$

Żid -36 ma' 36.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -7 b'2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Ikkombina -4y u -14y biex tikseb -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

Ikkombina 8x u -7x biex tikseb x.

$$x-18y=-36$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

Żid 4 maż-żewġ naħat.

$$-2x-7y=-18+4$$

Żid -18 u 4 biex tikseb -14.

$$-2x-7y=-14$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&-\frac{-18}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}&-\frac{18}{43}\\-\frac{2}{43}&-\frac{1}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}\left(-36\right)-\frac{18}{43}\left(-14\right)\\-\frac{2}{43}\left(-36\right)-\frac{1}{43}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=0,y=2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -7 b'2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Ikkombina -4y u -14y biex tikseb -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

Ikkombina 8x u -7x biex tikseb x.

$$x-18y=-36$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -2 b'x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

Żid 4 maż-żewġ naħat.

$$-2x-7y=-18+4$$

Żid -18 u 4 biex tikseb -14.

$$-2x-7y=-14$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Biex tagħmel x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-2x-2\left(-18\right)y=-2\left(-36\right),-2x-7y=-14$$

Issimplifika.

$$-2x+36y=72,-2x-7y=-14$$

Naqqas -2x-7y=-14 minn -2x+36y=72 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x+36y+7y=72+14$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$36y+7y=72+14$$

Żid 36y ma' 7y.

$$43y=72+14$$

Żid 72 ma' 14.

$$43y=86$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'43.

$$y=2$$

Issostitwixxi 2 għal y f'-2x-7y=-14. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x-7\times 2=-14$$

Immultiplika -7 b'2.

$$-2x-14=-14$$

Żid 14 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=0$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=0$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=0,y=2$$