Issolvi {l}{30x+15y=675}{42x+20y=940}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=20$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$30x+15y=675$$

Naqqas 15y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$30x=-15y+675$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'30.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

Immultiplika \frac{1}{30} b'-15y+675.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-y+45}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 42x+20y=940.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

Immultiplika 42 b'\frac{-y+45}{2}.

$$-21y+945+20y=940$$

Żid -21y ma' 20y.

$$-y+945=940$$

Naqqas 945 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-y=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'5.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

Żid \frac{45}{2} ma' -\frac{5}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=20$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=20,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), biex l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala l-problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=20,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Biex tagħmel 30x u 42x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'42 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'30.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

Issimplifika.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

Naqqas 1260x+600y=28200 minn 1260x+630y=28350 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

Żid 1260x ma' -1260x. 1260x u -1260x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$630y-600y=28350-28200$$

Żid 630y ma' -600y.

$$30y=28350-28200$$

Żid 28350 ma' -28200.

$$30y=150$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'30.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'42x+20y=940. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$42x+20\times 5=940$$

Immultiplika 20 b'5.

$$42x+100=940$$

Naqqas 100 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$42x=840$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'42.

$$x=20$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=20,y=5$$