Issolvi {l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x=3$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3y-7x=-9$$

Żid 7x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3y=7x-9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'7x-9.

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

Issostitwixxi \frac{7x}{3}-3 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, 2y+5x=23.

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

Immultiplika 2 b'\frac{7x}{3}-3.

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

Żid \frac{14x}{3} ma' 5x.

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

Żid 6 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{29}{3}x=29$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{29}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=3$$

Issostitwixxi 3 għal x f'y=\frac{7}{3}x-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

Immultiplika \frac{7}{3} b'3.

$$y=7-3$$

Żid -3 ma' 7.

$$y=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=4,x=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=4,x=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Biex tagħmel 3y u 2y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

Issimplifika.

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

Naqqas 6y+15x=69 minn 6y-14x=-18 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

Żid 6y ma' -6y. 6y u -6y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-14x-15x=-18-69$$

Żid -14x ma' -15x.

$$-29x=-18-69$$

Żid -18 ma' -69.

$$-29x=-87$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-29.

$$x=3$$

Issostitwixxi 3 għal x f'2y+5x=23. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$2y+5\times 3=23$$

Immultiplika 5 b'3.

$$2y+15=23$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=4,x=3$$