Issolvi {l}{3x-y=-1}{-x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = - 1 } \\ { - x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-y=-1,-x+2y=7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-y=-1$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=y-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'y-1.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-1+y}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+2y=7.

$$-\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+2y=7$$

Immultiplika -1 b'\frac{-1+y}{3}.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}+2y=7$$

Żid -\frac{y}{3} ma' 2y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}=7$$

Naqqas \frac{1}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{5}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{3}\times 4-\frac{1}{3}$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'4.

$$x=\frac{4-1}{3}$$

Żid -\frac{1}{3} ma' \frac{4}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-y=-1,-x+2y=7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-1\right)+\frac{1}{5}\times 7\\\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{3}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=4$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-y=-1,-x+2y=7$$

Biex tagħmel 3x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$-3x-\left(-y\right)=-\left(-1\right),3\left(-1\right)x+3\times 2y=3\times 7$$

Issimplifika.

$$-3x+y=1,-3x+6y=21$$

Naqqas -3x+6y=21 minn -3x+y=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-3x+3x+y-6y=1-21$$

Żid -3x ma' 3x. -3x u 3x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y-6y=1-21$$

Żid y ma' -6y.

$$-5y=1-21$$

Żid 1 ma' -21.

$$-5y=-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=4$$

Issostitwixxi 4 għal y f'-x+2y=7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x+2\times 4=7$$

Immultiplika 2 b'4.

$$-x+8=7$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=4$$