Issolvi {l}{3x-8y=9}{4x+3y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{53}{41} = -1\frac{12}{41} \approx -1.292682927$$

$$y = -\frac{66}{41} = -1\frac{25}{41} \approx -1.609756098$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-8y=9$$

Żid 8y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=8y+9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(8y+9\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'8y+9.

$$x=\frac{8}{3}y+3$$

Issostitwixxi \frac{8y}{3}+3 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+3y=-10.

$$4\left(\frac{8}{3}y+3\right)+3y=-10$$

Immultiplika 4 b'\frac{8y}{3}+3.

$$\frac{32}{3}y+12+3y=-10$$

Żid \frac{32y}{3} ma' 3y.

$$\frac{41}{3}y+12=-10$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{41}{3}y=-22$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{41}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{66}{41}$$

Issostitwixxi -\frac{66}{41} għal y f'x=\frac{8}{3}y+3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{8}{3}\left(-\frac{66}{41}\right)+3$$

Immultiplika \frac{8}{3} b'-\frac{66}{41} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{176}{41}+3$$

Żid 3 ma' -\frac{176}{41}.

$$x=-\frac{53}{41}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{8}{41}\\-\frac{4}{41}&\frac{3}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\times 9+\frac{8}{41}\left(-10\right)\\-\frac{4}{41}\times 9+\frac{3}{41}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{53}{41}\\-\frac{66}{41}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

Biex tagħmel 3x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$4\times 3x+4\left(-8\right)y=4\times 9,3\times 4x+3\times 3y=3\left(-10\right)$$

Issimplifika.

$$12x-32y=36,12x+9y=-30$$

Naqqas 12x+9y=-30 minn 12x-32y=36 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12x-12x-32y-9y=36+30$$

Żid 12x ma' -12x. 12x u -12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-32y-9y=36+30$$

Żid -32y ma' -9y.

$$-41y=36+30$$

Żid 36 ma' 30.

$$-41y=66$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-41.

$$y=-\frac{66}{41}$$

Issostitwixxi -\frac{66}{41} għal y f'4x+3y=-10. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+3\left(-\frac{66}{41}\right)=-10$$

Immultiplika 3 b'-\frac{66}{41}.

$$4x-\frac{198}{41}=-10$$

Żid \frac{198}{41} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-\frac{212}{41}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=-\frac{53}{41}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$