Issolvi {l}{3x-7y=24}{6x+3y=99}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = 24 } \\ { 6 x + 3 y = 99 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=15$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-7y=24$$

Żid 7y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=7y+24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(7y+24\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'7y+24.

$$x=\frac{7}{3}y+8$$

Issostitwixxi \frac{7y}{3}+8 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 6x+3y=99.

$$6\left(\frac{7}{3}y+8\right)+3y=99$$

Immultiplika 6 b'\frac{7y}{3}+8.

$$14y+48+3y=99$$

Żid 14y ma' 3y.

$$17y+48=99$$

Naqqas 48 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$17y=51$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'17.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=\frac{7}{3}y+8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{7}{3}\times 3+8$$

Immultiplika \frac{7}{3} b'3.

$$x=7+8$$

Żid 8 ma' 7.

$$x=15$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=15,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{7}{51}\\-\frac{2}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\99\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 24+\frac{7}{51}\times 99\\-\frac{2}{17}\times 24+\frac{1}{17}\times 99\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=15,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-7y=24,6x+3y=99$$

Biex tagħmel 3x u 6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$6\times 3x+6\left(-7\right)y=6\times 24,3\times 6x+3\times 3y=3\times 99$$

Issimplifika.

$$18x-42y=144,18x+9y=297$$

Naqqas 18x+9y=297 minn 18x-42y=144 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$18x-18x-42y-9y=144-297$$

Żid 18x ma' -18x. 18x u -18x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-42y-9y=144-297$$

Żid -42y ma' -9y.

$$-51y=144-297$$

Żid 144 ma' -297.

$$-51y=-153$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-51.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'6x+3y=99. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$6x+3\times 3=99$$

Immultiplika 3 b'3.

$$6x+9=99$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=90$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=15$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=15,y=3$$