Issolvi {l}{3x-5y=-16}{2x-2y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 16 } \\ { 2 x - 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=3$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-5y=-16,2x-2y=-4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-5y=-16$$

Żid 5y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=5y-16$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-16\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'5y-16.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}$$

Issostitwixxi \frac{5y-16}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-2y=-4.

$$2\left(\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}\right)-2y=-4$$

Immultiplika 2 b'\frac{5y-16}{3}.

$$\frac{10}{3}y-\frac{32}{3}-2y=-4$$

Żid \frac{10y}{3} ma' -2y.

$$\frac{4}{3}y-\frac{32}{3}=-4$$

Żid \frac{32}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{4}{3}y=\frac{20}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{4}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{3}\times 5-\frac{16}{3}$$

Immultiplika \frac{5}{3} b'5.

$$x=\frac{25-16}{3}$$

Żid -\frac{16}{3} ma' \frac{25}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-5y=-16,2x-2y=-4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{5}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-16\right)+\frac{5}{4}\left(-4\right)\\-\frac{1}{2}\left(-16\right)+\frac{3}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=3,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-5y=-16,2x-2y=-4$$

Biex tagħmel 3x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-16\right),3\times 2x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)$$

Issimplifika.

$$6x-10y=-32,6x-6y=-12$$

Naqqas 6x-6y=-12 minn 6x-10y=-32 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x-10y+6y=-32+12$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-10y+6y=-32+12$$

Żid -10y ma' 6y.

$$-4y=-32+12$$

Żid -32 ma' 12.

$$-4y=-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-4.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'2x-2y=-4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-2\times 5=-4$$

Immultiplika -2 b'5.

$$2x-10=-4$$

Żid 10 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=3$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=3,y=5$$