Issolvi {l}{3x=-4y}{5x-6y=38}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x = - 4 y } \\ { 5 x - 6 y = 38 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 4y maż-żewġ naħat.

$$3x+4y=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+4y=0$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-4y$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4\right)y$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-4y.

$$x=-\frac{4}{3}y$$

Issostitwixxi -\frac{4y}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x-6y=38.

$$5\left(-\frac{4}{3}\right)y-6y=38$$

Immultiplika 5 b'-\frac{4y}{3}.

$$-\frac{20}{3}y-6y=38$$

Żid -\frac{20y}{3} ma' -6y.

$$-\frac{38}{3}y=38$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{38}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'x=-\frac{4}{3}y. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-3\right)$$

Immultiplika -\frac{4}{3} b'-3.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 4y maż-żewġ naħat.

$$3x+4y=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 5}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-6\right)-4\times 5}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 38\\-\frac{3}{38}\times 38\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 4y maż-żewġ naħat.

$$3x+4y=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

Biex tagħmel 3x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$5\times 3x+5\times 4y=0,3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\times 38$$

Issimplifika.

$$15x+20y=0,15x-18y=114$$

Naqqas 15x-18y=114 minn 15x+20y=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$15x-15x+20y+18y=-114$$

Żid 15x ma' -15x. 15x u -15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$20y+18y=-114$$

Żid 20y ma' 18y.

$$38y=-114$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'38.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'5x-6y=38. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x-6\left(-3\right)=38$$

Immultiplika -6 b'-3.

$$5x+18=38$$

Naqqas 18 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=-3$$