Issolvi {l}{3x+6y=9}{5x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 9 } \\ { 5 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+6y=9,5x+2y=7$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+6y=9$$

Naqqas 6y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-6y+9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+9\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-6y+9.

$$x=-2y+3$$

Issostitwixxi -2y+3 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+2y=7.

$$5\left(-2y+3\right)+2y=7$$

Immultiplika 5 b'-2y+3.

$$-10y+15+2y=7$$

Żid -10y ma' 2y.

$$-8y+15=7$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-8y=-8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-8.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=-2y+3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2+3$$

Żid 3 ma' -2.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+6y=9,5x+2y=7$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&6\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-6\times 5}&-\frac{6}{3\times 2-6\times 5}\\-\frac{5}{3\times 2-6\times 5}&\frac{3}{3\times 2-6\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\\\frac{5}{24}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 9+\frac{1}{4}\times 7\\\frac{5}{24}\times 9-\frac{1}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+6y=9,5x+2y=7$$

Biex tagħmel 3x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$5\times 3x+5\times 6y=5\times 9,3\times 5x+3\times 2y=3\times 7$$

Issimplifika.

$$15x+30y=45,15x+6y=21$$

Naqqas 15x+6y=21 minn 15x+30y=45 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$15x-15x+30y-6y=45-21$$

Żid 15x ma' -15x. 15x u -15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$30y-6y=45-21$$

Żid 30y ma' -6y.

$$24y=45-21$$

Żid 45 ma' -21.

$$24y=24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'24.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'5x+2y=7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+2=7$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=1$$