Issolvi {l}{3x+6y=24}{9x+5y=68}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+6y=24$$

Naqqas 6y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-6y+24$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-6y+24.

$$x=-2y+8$$

Issostitwixxi -2y+8 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 9x+5y=68.

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

Immultiplika 9 b'-2y+8.

$$-18y+72+5y=68$$

Żid -18y ma' 5y.

$$-13y+72=68$$

Naqqas 72 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-13y=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-13.

$$y=\frac{4}{13}$$

Issostitwixxi \frac{4}{13} għal y f'x=-2y+8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

Immultiplika -2 b'\frac{4}{13}.

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

Żid 8 ma' -\frac{8}{13}.

$$x=\frac{96}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Biex tagħmel 3x u 9x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'9 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

Issimplifika.

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

Naqqas 27x+15y=204 minn 27x+54y=216 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

Żid 27x ma' -27x. 27x u -27x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$54y-15y=216-204$$

Żid 54y ma' -15y.

$$39y=216-204$$

Żid 216 ma' -204.

$$39y=12$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'39.

$$y=\frac{4}{13}$$

Issostitwixxi \frac{4}{13} għal y f'9x+5y=68. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

Immultiplika 5 b'\frac{4}{13}.

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

Naqqas \frac{20}{13} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9x=\frac{864}{13}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$x=\frac{96}{13}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$