Issolvi {l}{3x+5y-1=0}{4x+3y-5=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y - 1 = 0 } \\ { 4 x + 3 y - 5 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+5y-1=0,4x+3y-5=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+5y-1=0$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x+5y=1$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-5y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-5y+1.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-5y+1}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+3y-5=0.

$$4\left(-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}\right)+3y-5=0$$

Immultiplika 4 b'\frac{-5y+1}{3}.

$$-\frac{20}{3}y+\frac{4}{3}+3y-5=0$$

Żid -\frac{20y}{3} ma' 3y.

$$-\frac{11}{3}y+\frac{4}{3}-5=0$$

Żid \frac{4}{3} ma' -5.

$$-\frac{11}{3}y-\frac{11}{3}=0$$

Żid \frac{11}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{11}{3}y=\frac{11}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{11}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}$$

Immultiplika -\frac{5}{3} b'-1.

$$x=\frac{5+1}{3}$$

Żid \frac{1}{3} ma' \frac{5}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+5y-1=0,4x+3y-5=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 4}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 4}\\-\frac{4}{3\times 3-5\times 4}&\frac{3}{3\times 3-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}+\frac{5}{11}\times 5\\\frac{4}{11}-\frac{3}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+5y-1=0,4x+3y-5=0$$

Biex tagħmel 3x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$4\times 3x+4\times 5y+4\left(-1\right)=0,3\times 4x+3\times 3y+3\left(-5\right)=0$$

Issimplifika.

$$12x+20y-4=0,12x+9y-15=0$$

Naqqas 12x+9y-15=0 minn 12x+20y-4=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12x-12x+20y-9y-4+15=0$$

Żid 12x ma' -12x. 12x u -12x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$20y-9y-4+15=0$$

Żid 20y ma' -9y.

$$11y-4+15=0$$

Żid -4 ma' 15.

$$11y+11=0$$

Naqqas 11 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$11y=-11$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'11.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'4x+3y-5=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x+3\left(-1\right)-5=0$$

Immultiplika 3 b'-1.

$$4x-3-5=0$$

Żid -3 ma' -5.

$$4x-8=0$$

Żid 8 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=-1$$