Issolvi {l}{3x+2y=16k}{5x-4y=-10k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 16 k } \\ { 5 x - 4 y = - 10 k } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2k$$

$$y=5k$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+2y=16k$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-2y+16k$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+16k\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-2y+16k.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-2y+16k}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x-4y=-10k.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}\right)-4y=-10k$$

Immultiplika 5 b'\frac{-2y+16k}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{80k}{3}-4y=-10k$$

Żid -\frac{10y}{3} ma' -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{80k}{3}=-10k$$

Naqqas \frac{80k}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{110k}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{22}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=5k$$

Issostitwixxi 5k għal y f'x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{3}\times 5k+\frac{16k}{3}$$

Immultiplika -\frac{2}{3} b'5k.

$$x=\frac{-10k+16k}{3}$$

Żid \frac{16k}{3} ma' -\frac{10k}{3}.

$$x=2k$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2k,y=5k$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 16k+\frac{1}{11}\left(-10k\right)\\\frac{5}{22}\times 16k-\frac{3}{22}\left(-10k\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\5k\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2k,y=5k$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Biex tagħmel 3x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 16k,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\left(-10k\right)$$

Issimplifika.

$$15x+10y=80k,15x-12y=-30k$$

Naqqas 15x-12y=-30k minn 15x+10y=80k billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$15x-15x+10y+12y=80k+30k$$

Żid 15x ma' -15x. 15x u -15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$10y+12y=80k+30k$$

Żid 10y ma' 12y.

$$22y=80k+30k$$

Żid 80k ma' 30k.

$$22y=110k$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'22.

$$y=5k$$

Issostitwixxi 5k għal y f'5x-4y=-10k. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x-4\times 5k=-10k$$

Immultiplika -4 b'5k.

$$5x-20k=-10k$$

Żid 20k maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=10k$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=2k$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2k,y=5k$$