Issolvi {l}{3x+2y=1}{2x-7y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 1 } \\ { 2 x - 7 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{3}{25}=0.12$$

$$y=\frac{8}{25}=0.32$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x+2y=1$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=-2y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-2y+1.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-2y+1}{3} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x-7y=-2.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-7y=-2$$

Immultiplika 2 b'\frac{-2y+1}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}-7y=-2$$

Żid -\frac{4y}{3} ma' -7y.

$$-\frac{25}{3}y+\frac{2}{3}=-2$$

Naqqas \frac{2}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{25}{3}y=-\frac{8}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{25}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{8}{25}$$

Issostitwixxi \frac{8}{25} għal y f'x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{8}{25}+\frac{1}{3}$$

Immultiplika -\frac{2}{3} b'\frac{8}{25} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{16}{75}+\frac{1}{3}$$

Żid \frac{1}{3} ma' -\frac{16}{75} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{3}{25}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-7\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\\\frac{2}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}+\frac{2}{25}\left(-2\right)\\\frac{2}{25}-\frac{3}{25}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\\\frac{8}{25}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

Biex tagħmel 3x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2,3\times 2x+3\left(-7\right)y=3\left(-2\right)$$

Issimplifika.

$$6x+4y=2,6x-21y=-6$$

Naqqas 6x-21y=-6 minn 6x+4y=2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$6x-6x+4y+21y=2+6$$

Żid 6x ma' -6x. 6x u -6x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4y+21y=2+6$$

Żid 4y ma' 21y.

$$25y=2+6$$

Żid 2 ma' 6.

$$25y=8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'25.

$$y=\frac{8}{25}$$

Issostitwixxi \frac{8}{25} għal y f'2x-7y=-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x-7\times \frac{8}{25}=-2$$

Immultiplika -7 b'\frac{8}{25}.

$$2x-\frac{56}{25}=-2$$

Żid \frac{56}{25} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=\frac{6}{25}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{3}{25}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$