Issolvi {l}{3m+4n=7}{4m-3n-1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 m + 4 n = 7 } \\ { 4 m - 3 n - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Solvi għal m, n

$$m=1$$

$$n=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal m billi tiżola m fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3m+4n=7$$

Naqqas 4n miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3m=-4n+7$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$m=\frac{1}{3}\left(-4n+7\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-4n+7.

$$m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-4n+7}{3} għal m fl-ekwazzjoni l-oħra, 4m-3n-1=0.

$$4\left(-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}\right)-3n-1=0$$

Immultiplika 4 b'\frac{-4n+7}{3}.

$$-\frac{16}{3}n+\frac{28}{3}-3n-1=0$$

Żid -\frac{16n}{3} ma' -3n.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{28}{3}-1=0$$

Żid \frac{28}{3} ma' -1.

$$-\frac{25}{3}n+\frac{25}{3}=0$$

Naqqas \frac{25}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{25}{3}n=-\frac{25}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{25}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$n=1$$

Issostitwixxi 1 għal n f'm=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$m=\frac{-4+7}{3}$$

Żid \frac{7}{3} ma' -\frac{4}{3} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$m=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=1,n=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 7+\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}\times 7-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi m u n.

$$m=1,n=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

Biex tagħmel 3m u 4m ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$4\times 3m+4\times 4n=4\times 7,3\times 4m+3\left(-3\right)n+3\left(-1\right)=0$$

Issimplifika.

$$12m+16n=28,12m-9n-3=0$$

Naqqas 12m-9n-3=0 minn 12m+16n=28 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$12m-12m+16n+9n+3=28$$

Żid 12m ma' -12m. 12m u -12m jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$16n+9n+3=28$$

Żid 16n ma' 9n.

$$25n+3=28$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$25n=25$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'25.

$$n=1$$

Issostitwixxi 1 għal n f'4m-3n-1=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal m direttament.

$$4m-3-1=0$$

Żid -3 ma' -1.

$$4m-4=0$$

Żid 4 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4m=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$m=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$m=1,n=1$$