Issolvi {l}{3a+14b=4}{13a+19b=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

Solvi għal a, b

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal a billi tiżola a fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3a+14b=4$$

Naqqas 14b miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3a=-14b+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-14b+4.

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

Issostitwixxi \frac{-14b+4}{3} għal a fl-ekwazzjoni l-oħra, 13a+19b=13.

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

Immultiplika 13 b'\frac{-14b+4}{3}.

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

Żid -\frac{182b}{3} ma' 19b.

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

Naqqas \frac{52}{3} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{125}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$b=\frac{13}{125}$$

Issostitwixxi \frac{13}{125} għal b f'a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

Immultiplika -\frac{14}{3} b'\frac{13}{125} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

Żid \frac{4}{3} ma' -\frac{182}{375} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$a=\frac{106}{125}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi a u b.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Biex tagħmel 3a u 13a ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'13 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

Issimplifika.

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

Naqqas 39a+57b=39 minn 39a+182b=52 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

Żid 39a ma' -39a. 39a u -39a jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$182b-57b=52-39$$

Żid 182b ma' -57b.

$$125b=52-39$$

Żid 52 ma' -39.

$$125b=13$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'125.

$$b=\frac{13}{125}$$

Issostitwixxi \frac{13}{125} għal b f'13a+19b=13. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal a direttament.

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

Immultiplika 19 b'\frac{13}{125}.

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

Naqqas \frac{247}{125} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$13a=\frac{1378}{125}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'13.

$$a=\frac{106}{125}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$