Issolvi {l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=4$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -4 b'x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Ikkombina 3x u -4x biex tikseb -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Ikkombina 3y u 4y biex tikseb 7y.

$$-x+7y=-18$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika \frac{1}{2} b'x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika \frac{1}{6} b'x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Ikkombina \frac{1}{2}x u \frac{1}{6}x biex tikseb \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Ikkombina \frac{1}{2}y u -\frac{1}{6}y biex tikseb \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-x+7y=-18$$

Naqqas 7y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-7y-18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

Immultiplika -1 b'-7y-18.

$$x=7y+18$$

Issostitwixxi 7y+18 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

Immultiplika \frac{2}{3} b'7y+18.

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

Żid \frac{14y}{3} ma' \frac{y}{3}.

$$5y+12=2$$

Naqqas 12 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5y=-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=7y+18. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=7\left(-2\right)+18$$

Immultiplika 7 b'-2.

$$x=-14+18$$

Żid 18 ma' -14.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -4 b'x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Ikkombina 3x u -4x biex tikseb -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Ikkombina 3y u 4y biex tikseb 7y.

$$-x+7y=-18$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika \frac{1}{2} b'x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika \frac{1}{6} b'x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Ikkombina \frac{1}{2}x u \frac{1}{6}x biex tikseb \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Ikkombina \frac{1}{2}y u -\frac{1}{6}y biex tikseb \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), biex l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala l-problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=4,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -4 b'x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Ikkombina 3x u -4x biex tikseb -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Ikkombina 3y u 4y biex tikseb 7y.

$$-x+7y=-18$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika \frac{1}{2} b'x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika \frac{1}{6} b'x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Ikkombina \frac{1}{2}x u \frac{1}{6}x biex tikseb \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Ikkombina \frac{1}{2}y u -\frac{1}{6}y biex tikseb \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Biex tagħmel -x u \frac{2x}{3} ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'\frac{2}{3} u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-1.

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

Issimplifika.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

Naqqas -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2 minn -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

Żid -\frac{2x}{3} ma' \frac{2x}{3}. -\frac{2x}{3} u \frac{2x}{3} jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

Żid \frac{14y}{3} ma' \frac{y}{3}.

$$5y=-12+2$$

Żid -12 ma' 2.

$$5y=-10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-2.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

Żid \frac{2}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{2}{3}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$x=4$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=4,y=-2$$