Issolvi {l}{3(x+y)+9=2(x-y)}{2(x+y)=3(x-y)-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 9 = 2 ( x - y ) } \\ { 2 ( x + y ) = 3 ( x - y ) - 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+y.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-y.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

Ikkombina 3x u -2x biex tikseb x.

$$x+3y+9=-2y$$

Żid 2y maż-żewġ naħat.

$$x+3y+9+2y=0$$

Ikkombina 3y u 2y biex tikseb 5y.

$$x+5y+9=0$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$x+5y=-9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+y.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-y.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

Ikkombina 2x u -3x biex tikseb -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

Żid 3y maż-żewġ naħat.

$$-x+2y+3y=-4$$

Ikkombina 2y u 3y biex tikseb 5y.

$$-x+5y=-4$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+5y=-9$$

Naqqas 5y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-5y-9$$

Issostitwixxi -5y-9 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+5y=-4.

$$-\left(-5y-9\right)+5y=-4$$

Immultiplika -1 b'-5y-9.

$$5y+9+5y=-4$$

Żid 5y ma' 5y.

$$10y+9=-4$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$10y=-13$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$y=-\frac{13}{10}$$

Issostitwixxi -\frac{13}{10} għal y f'x=-5y-9. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-5\left(-\frac{13}{10}\right)-9$$

Immultiplika -5 b'-\frac{13}{10}.

$$x=\frac{13}{2}-9$$

Żid -9 ma' \frac{13}{2}.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+y.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-y.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

Ikkombina 3x u -2x biex tikseb x.

$$x+3y+9=-2y$$

Żid 2y maż-żewġ naħat.

$$x+3y+9+2y=0$$

Ikkombina 3y u 2y biex tikseb 5y.

$$x+5y+9=0$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$x+5y=-9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+y.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-y.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

Ikkombina 2x u -3x biex tikseb -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

Żid 3y maż-żewġ naħat.

$$-x+2y+3y=-4$$

Ikkombina 2y u 3y biex tikseb 5y.

$$-x+5y=-4$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{5-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-5\left(-1\right)}&\frac{1}{5-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{1}{2}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{13}{10}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+y.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-y.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

Naqqas 2x miż-żewġ naħat.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

Ikkombina 3x u -2x biex tikseb x.

$$x+3y+9=-2y$$

Żid 2y maż-żewġ naħat.

$$x+3y+9+2y=0$$

Ikkombina 3y u 2y biex tikseb 5y.

$$x+5y+9=0$$

Naqqas 9 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$x+5y=-9$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+y.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x-y.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

Ikkombina 2x u -3x biex tikseb -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

Żid 3y maż-żewġ naħat.

$$-x+2y+3y=-4$$

Ikkombina 2y u 3y biex tikseb 5y.

$$-x+5y=-4$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

Naqqas -x+5y=-4 minn x+5y=-9 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$x+x+5y-5y=-9+4$$

Żid 5y ma' -5y. 5y u -5y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$x+x=-9+4$$

Żid x ma' x.

$$2x=-9+4$$

Żid -9 ma' 4.

$$2x=-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi -\frac{5}{2} għal x f'-x+5y=-4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$-\left(-\frac{5}{2}\right)+5y=-4$$

Immultiplika -1 b'-\frac{5}{2}.

$$\frac{5}{2}+5y=-4$$

Naqqas \frac{5}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5y=-\frac{13}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=-\frac{13}{10}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$