Issolvi {l}{3(x+y)+2(x-y)=18}{2(x+y)-(x-y)=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 2 ( x - y ) = 18 } \\ { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = - 4 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$y = -\frac{19}{7} = -2\frac{5}{7} \approx -2.714285714$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+y.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-y.

$$3x+3y+2x-2y=18$$

Ikkombina 3x u 2x biex tikseb 5x.

$$5x+3y-2y=18$$

Ikkombina 3y u -2y biex tikseb y.

$$5x+y=18$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+y.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

Biex issib l-oppost ta' x-y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$2x+2y-x+y=-4$$

Ikkombina 2x u -x biex tikseb x.

$$x+2y+y=-4$$

Ikkombina 2y u y biex tikseb 3y.

$$x+3y=-4$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x+y=18$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=-y+18$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+18\right)$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'-y+18.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5}$$

Issostitwixxi \frac{-y+18}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+3y=-4.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5}+3y=-4$$

Żid -\frac{y}{5} ma' 3y.

$$\frac{14}{5}y+\frac{18}{5}=-4$$

Naqqas \frac{18}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{14}{5}y=-\frac{38}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{14}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-\frac{19}{7}$$

Issostitwixxi -\frac{19}{7} għal y f'x=-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-\frac{19}{7}\right)+\frac{18}{5}$$

Immultiplika -\frac{1}{5} b'-\frac{19}{7} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{19}{35}+\frac{18}{5}$$

Żid \frac{18}{5} ma' \frac{19}{35} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{29}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+y.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-y.

$$3x+3y+2x-2y=18$$

Ikkombina 3x u 2x biex tikseb 5x.

$$5x+3y-2y=18$$

Ikkombina 3y u -2y biex tikseb y.

$$5x+y=18$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+y.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

Biex issib l-oppost ta' x-y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$2x+2y-x+y=-4$$

Ikkombina 2x u -x biex tikseb x.

$$x+2y+y=-4$$

Ikkombina 2y u y biex tikseb 3y.

$$x+3y=-4$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-1}&-\frac{1}{5\times 3-1}\\-\frac{1}{5\times 3-1}&\frac{5}{5\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 18-\frac{1}{14}\left(-4\right)\\-\frac{1}{14}\times 18+\frac{5}{14}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\-\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+y.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x-y.

$$3x+3y+2x-2y=18$$

Ikkombina 3x u 2x biex tikseb 5x.

$$5x+3y-2y=18$$

Ikkombina 3y u -2y biex tikseb y.

$$5x+y=18$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'x+y.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

Biex issib l-oppost ta' x-y, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$2x+2y-x+y=-4$$

Ikkombina 2x u -x biex tikseb x.

$$x+2y+y=-4$$

Ikkombina 2y u y biex tikseb 3y.

$$x+3y=-4$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

Biex tagħmel 5x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$5x+y=18,5x+5\times 3y=5\left(-4\right)$$

Issimplifika.

$$5x+y=18,5x+15y=-20$$

Naqqas 5x+15y=-20 minn 5x+y=18 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$5x-5x+y-15y=18+20$$

Żid 5x ma' -5x. 5x u -5x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y-15y=18+20$$

Żid y ma' -15y.

$$-14y=18+20$$

Żid 18 ma' 20.

$$-14y=38$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-14.

$$y=-\frac{19}{7}$$

Issostitwixxi -\frac{19}{7} għal y f'x+3y=-4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+3\left(-\frac{19}{7}\right)=-4$$

Immultiplika 3 b'-\frac{19}{7}.

$$x-\frac{57}{7}=-4$$

Żid \frac{57}{7} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{29}{7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$