Issolvi {l}{3(x+2)=2y}{2cy+5=7x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) = 2 y } \\ { 2 c y + 5 = 7 x } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

$$c\neq \frac{7}{3}$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+2.

$$3x+6=2y$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$3x+6-2y=0$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$3x-2y=-6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 7x miż-żewġ naħat.

$$2cy+5-7x=0$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$2cy-7x=-5$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$3x-2y=-6$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$3x=2y-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{3} b'-6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

Issostitwixxi \frac{2y}{3}-2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -7x+2cy=-5.

$$-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-5$$

Immultiplika -7 b'\frac{2y}{3}-2.

$$-\frac{14}{3}y+14+2cy=-5$$

Żid -\frac{14y}{3} ma' 2cy.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-5$$

Naqqas 14 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-19$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-\frac{14}{3}+2c.

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

Issostitwixxi -\frac{57}{2\left(-7+3c\right)} għal y f'x=\frac{2}{3}y-2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\right)-2$$

Immultiplika \frac{2}{3} b'-\frac{57}{2\left(-7+3c\right)}.

$$x=-\frac{19}{3c-7}-2$$

Żid -2 ma' -\frac{19}{-7+3c}.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+2.

$$3x+6=2y$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$3x+6-2y=0$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$3x-2y=-6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 7x miż-żewġ naħat.

$$2cy+5-7x=0$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$2cy-7x=-5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-5\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6c+5}{3c-7}\\-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'x+2.

$$3x+6=2y$$

Naqqas 2y miż-żewġ naħat.

$$3x+6-2y=0$$

Naqqas 6 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$3x-2y=-6$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 7x miż-żewġ naħat.

$$2cy+5-7x=0$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$2cy-7x=-5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

Biex tagħmel 3x u -7x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-7 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'3.

$$-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-5\right)$$

Issimplifika.

$$-21x+14y=42,-21x+6cy=-15$$

Naqqas -21x+6cy=-15 minn -21x+14y=42 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

Żid -21x ma' 21x. -21x u 21x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

Żid 14y ma' -6cy.

$$\left(14-6c\right)y=42+15$$

Żid 42 ma' 15.

$$\left(14-6c\right)y=57$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'14-6c.

$$y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$

Issostitwixxi \frac{57}{2\left(7-3c\right)} għal y f'-7x+2cy=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-7x+2c\times \frac{57}{2\left(7-3c\right)}=-5$$

Immultiplika 2c b'\frac{57}{2\left(7-3c\right)}.

$$-7x+\frac{57c}{7-3c}=-5$$

Naqqas \frac{57c}{7-3c} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-7x=-\frac{7\left(6c+5\right)}{7-3c}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-7.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c},y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$