Issolvi {l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -7 b'2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Naqqas 21 minn -6 biex tikseb -27.

$$15x-27-14y=2$$

Żid 27 maż-żewġ naħat.

$$15x-14y=2+27$$

Żid 2 u 27 biex tikseb 29.

$$15x-14y=29$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Żid 27x maż-żewġ naħat.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Ikkombina 6x u 27x biex tikseb 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Żid 23 maż-żewġ naħat.

$$33x-2y=12+23$$

Żid 12 u 23 biex tikseb 35.

$$33x-2y=35$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$15x-14y=29$$

Żid 14y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$15x=14y+29$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'15.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

Immultiplika \frac{1}{15} b'14y+29.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

Issostitwixxi \frac{14y+29}{15} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 33x-2y=35.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

Immultiplika 33 b'\frac{14y+29}{15}.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

Żid \frac{154y}{5} ma' -2y.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

Naqqas \frac{319}{5} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{144}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

Immultiplika \frac{14}{15} b'-1.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

Żid \frac{29}{15} ma' -\frac{14}{15} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -7 b'2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Naqqas 21 minn -6 biex tikseb -27.

$$15x-27-14y=2$$

Żid 27 maż-żewġ naħat.

$$15x-14y=2+27$$

Żid 2 u 27 biex tikseb 29.

$$15x-14y=29$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Żid 27x maż-żewġ naħat.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Ikkombina 6x u 27x biex tikseb 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Żid 23 maż-żewġ naħat.

$$33x-2y=12+23$$

Żid 12 u 23 biex tikseb 35.

$$33x-2y=35$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=-1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika -7 b'2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Naqqas 21 minn -6 biex tikseb -27.

$$15x-27-14y=2$$

Żid 27 maż-żewġ naħat.

$$15x-14y=2+27$$

Żid 2 u 27 biex tikseb 29.

$$15x-14y=29$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 2 b'3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Żid 27x maż-żewġ naħat.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Ikkombina 6x u 27x biex tikseb 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Żid 23 maż-żewġ naħat.

$$33x-2y=12+23$$

Żid 12 u 23 biex tikseb 35.

$$33x-2y=35$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Biex tagħmel 15x u 33x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'33 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'15.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

Issimplifika.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

Naqqas 495x-30y=525 minn 495x-462y=957 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

Żid 495x ma' -495x. 495x u -495x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-462y+30y=957-525$$

Żid -462y ma' 30y.

$$-432y=957-525$$

Żid 957 ma' -525.

$$-432y=432$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-432.

$$y=-1$$

Issostitwixxi -1 għal y f'33x-2y=35. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

Immultiplika -2 b'-1.

$$33x+2=35$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$33x=33$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'33.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=-1$$