Issolvi {l}{3(2x-y)=x-y}{x+5y=4(x+y)-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x - y ) = x - y } \\ { x + 5 y = 4 ( x + y ) - 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'2x-y.

$$6x-3y=x-y$$

Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$6x-3y-x=-y$$

Ikkombina 6x u -x biex tikseb 5x.

$$5x-3y=-y$$

Żid y maż-żewġ naħat.

$$5x-3y+y=0$$

Ikkombina -3y u y biex tikseb -2y.

$$5x-2y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'x+y.

$$x+5y=4x+4y-1$$

Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$x+5y-4x=4y-1$$

Ikkombina x u -4x biex tikseb -3x.

$$-3x+5y=4y-1$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$-3x+5y-4y=-1$$

Ikkombina 5y u -4y biex tikseb y.

$$-3x+y=-1$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$5x-2y=0,-3x+y=-1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$5x-2y=0$$

Żid 2y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=2y$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=\frac{1}{5}\times 2y$$

Immultiplika \frac{1}{5} b'2y.

$$x=\frac{2}{5}y$$

Issostitwixxi \frac{2y}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -3x+y=-1.

$$-3\times \frac{2}{5}y+y=-1$$

Immultiplika -3 b'\frac{2y}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+y=-1$$

Żid -\frac{6y}{5} ma' y.

$$-\frac{1}{5}y=-1$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'x=\frac{2}{5}y. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{2}{5}\times 5$$

Immultiplika \frac{2}{5} b'5.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'2x-y.

$$6x-3y=x-y$$

Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$6x-3y-x=-y$$

Ikkombina 6x u -x biex tikseb 5x.

$$5x-3y=-y$$

Żid y maż-żewġ naħat.

$$5x-3y+y=0$$

Ikkombina -3y u y biex tikseb -2y.

$$5x-2y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'x+y.

$$x+5y=4x+4y-1$$

Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$x+5y-4x=4y-1$$

Ikkombina x u -4x biex tikseb -3x.

$$-3x+5y=4y-1$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$-3x+5y-4y=-1$$

Ikkombina 5y u -4y biex tikseb y.

$$-3x+y=-1$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$5x-2y=0,-3x+y=-1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-2\\-3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-1\right)\\-5\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=2,y=5$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 3 b'2x-y.

$$6x-3y=x-y$$

Naqqas x miż-żewġ naħat.

$$6x-3y-x=-y$$

Ikkombina 6x u -x biex tikseb 5x.

$$5x-3y=-y$$

Żid y maż-żewġ naħat.

$$5x-3y+y=0$$

Ikkombina -3y u y biex tikseb -2y.

$$5x-2y=0$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 4 b'x+y.

$$x+5y=4x+4y-1$$

Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$x+5y-4x=4y-1$$

Ikkombina x u -4x biex tikseb -3x.

$$-3x+5y=4y-1$$

Naqqas 4y miż-żewġ naħat.

$$-3x+5y-4y=-1$$

Ikkombina 5y u -4y biex tikseb y.

$$-3x+y=-1$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$5x-2y=0,-3x+y=-1$$

Biex tagħmel 5x u -3x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-3 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'5.

$$-3\times 5x-3\left(-2\right)y=0,5\left(-3\right)x+5y=5\left(-1\right)$$

Issimplifika.

$$-15x+6y=0,-15x+5y=-5$$

Naqqas -15x+5y=-5 minn -15x+6y=0 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-15x+15x+6y-5y=5$$

Żid -15x ma' 15x. -15x u 15x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$6y-5y=5$$

Żid 6y ma' -5y.

$$y=5$$

Issostitwixxi 5 għal y f'-3x+y=-1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-3x+5=-1$$

Naqqas 5 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-3x=-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-3.

$$x=2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=2,y=5$$