Issolvi {l}{25x+35y=16500}{x+y=500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=100$$

$$y=400$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$25x+35y=16500$$

Naqqas 35y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$25x=-35y+16500$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

Immultiplika \frac{1}{25} b'-35y+16500.

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

Issostitwixxi -\frac{7y}{5}+660 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+y=500.

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

Żid -\frac{7y}{5} ma' y.

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

Naqqas 660 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'-\frac{2}{5}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=400$$

Issostitwixxi 400 għal y f'x=-\frac{7}{5}y+660. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

Immultiplika -\frac{7}{5} b'400.

$$x=-560+660$$

Żid 660 ma' -560.

$$x=100$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=100,y=400$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=100,y=400$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Biex tagħmel 25x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'25.

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

Issimplifika.

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

Naqqas 25x+25y=12500 minn 25x+35y=16500 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

Żid 25x ma' -25x. 25x u -25x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$35y-25y=16500-12500$$

Żid 35y ma' -25y.

$$10y=16500-12500$$

Żid 16500 ma' -12500.

$$10y=4000$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'10.

$$y=400$$

Issostitwixxi 400 għal y f'x+y=500. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+400=500$$

Naqqas 400 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=100$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=100,y=400$$