Issolvi {l}{200x+300y=360}{300x+200y=340}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$200x+300y=360$$

Naqqas 300y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$200x=-300y+360$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'200.

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

Immultiplika \frac{1}{200} b'-300y+360.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 300x+200y=340.

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

Immultiplika 300 b'-\frac{3y}{2}+\frac{9}{5}.

$$-450y+540+200y=340$$

Żid -450y ma' 200y.

$$-250y+540=340$$

Naqqas 540 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-250y=-200$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-250.

$$y=\frac{4}{5}$$

Issostitwixxi \frac{4}{5} għal y f'x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'\frac{4}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

Żid \frac{9}{5} ma' -\frac{6}{5} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=\frac{3}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Biex tagħmel 200x u 300x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'300 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'200.

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

Issimplifika.

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

Naqqas 60000x+40000y=68000 minn 60000x+90000y=108000 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

Żid 60000x ma' -60000x. 60000x u -60000x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$90000y-40000y=108000-68000$$

Żid 90000y ma' -40000y.

$$50000y=108000-68000$$

Żid 108000 ma' -68000.

$$50000y=40000$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'50000.

$$y=\frac{4}{5}$$

Issostitwixxi \frac{4}{5} għal y f'300x+200y=340. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

Immultiplika 200 b'\frac{4}{5}.

$$300x+160=340$$

Naqqas 160 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$300x=180$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'300.

$$x=\frac{3}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$