Issolvi {l}{20+x+y=115}{11x=8y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=40$$

$$y=55$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 20 miż-żewġ naħat.

$$x+y=115-20$$

Naqqas 20 minn 115 biex tikseb 95.

$$x+y=95$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 8y miż-żewġ naħat.

$$11x-8y=0$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+y=95$$

Naqqas y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-y+95$$

Issostitwixxi -y+95 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 11x-8y=0.

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

Immultiplika 11 b'-y+95.

$$-11y+1045-8y=0$$

Żid -11y ma' -8y.

$$-19y+1045=0$$

Naqqas 1045 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-19y=-1045$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-19.

$$y=55$$

Issostitwixxi 55 għal y f'x=-y+95. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-55+95$$

Żid 95 ma' -55.

$$x=40$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=40,y=55$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 20 miż-żewġ naħat.

$$x+y=115-20$$

Naqqas 20 minn 115 biex tikseb 95.

$$x+y=95$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 8y miż-żewġ naħat.

$$11x-8y=0$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=40,y=55$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 20 miż-żewġ naħat.

$$x+y=115-20$$

Naqqas 20 minn 115 biex tikseb 95.

$$x+y=95$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Naqqas 8y miż-żewġ naħat.

$$11x-8y=0$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Biex tagħmel x u 11x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'11 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

Issimplifika.

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

Naqqas 11x-8y=0 minn 11x+11y=1045 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

Żid 11x ma' -11x. 11x u -11x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$11y+8y=1045$$

Żid 11y ma' 8y.

$$19y=1045$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'19.

$$y=55$$

Issostitwixxi 55 għal y f'11x-8y=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$11x-8\times 55=0$$

Immultiplika -8 b'55.

$$11x-440=0$$

Żid 440 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$11x=440$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'11.

$$x=40$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=40,y=55$$