Issolvi {l}{2y=3x-6}{5x+4y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 6 } \\ { 5 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal y, x

$$x = \frac{20}{11} = 1\frac{9}{11} \approx 1.818181818$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$2y-3x=-6$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal y billi tiżola y fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2y-3x=-6$$

Żid 3x maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2y=3x-6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'-6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Issostitwixxi \frac{3x}{2}-3 għal y fl-ekwazzjoni l-oħra, 4y+5x=8.

$$4\left(\frac{3}{2}x-3\right)+5x=8$$

Immultiplika 4 b'\frac{3x}{2}-3.

$$6x-12+5x=8$$

Żid 6x ma' 5x.

$$11x-12=8$$

Żid 12 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$11x=20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'11.

$$x=\frac{20}{11}$$

Issostitwixxi \frac{20}{11} għal x f'y=\frac{3}{2}x-3. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{20}{11}-3$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'\frac{20}{11} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$y=\frac{30}{11}-3$$

Żid -3 ma' \frac{30}{11}.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$2y-3x=-6$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}\left(-6\right)+\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{2}{11}\left(-6\right)+\frac{1}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{20}{11}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi y u x.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 3x miż-żewġ naħat.

$$2y-3x=-6$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Biex tagħmel 2y u 4y ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$4\times 2y+4\left(-3\right)x=4\left(-6\right),2\times 4y+2\times 5x=2\times 8$$

Issimplifika.

$$8y-12x=-24,8y+10x=16$$

Naqqas 8y+10x=16 minn 8y-12x=-24 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8y-8y-12x-10x=-24-16$$

Żid 8y ma' -8y. 8y u -8y jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-12x-10x=-24-16$$

Żid -12x ma' -10x.

$$-22x=-24-16$$

Żid -24 ma' -16.

$$-22x=-40$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-22.

$$x=\frac{20}{11}$$

Issostitwixxi \frac{20}{11} għal x f'4y+5x=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal y direttament.

$$4y+5\times \frac{20}{11}=8$$

Immultiplika 5 b'\frac{20}{11}.

$$4y+\frac{100}{11}=8$$

Naqqas \frac{100}{11} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4y=-\frac{12}{11}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$