Issolvi {l}{2x-y=5}{-x=30-3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { - x = 30 - 3 y } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=9$$

$$y=13$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3y maż-żewġ naħat.

$$-x+3y=30$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-y=5$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=y+5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi \frac{5+y}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x+3y=30.

$$-\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+3y=30$$

Immultiplika -1 b'\frac{5+y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+3y=30$$

Żid -\frac{y}{2} ma' 3y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{5}{2}=30$$

Żid \frac{5}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{5}{2}y=\frac{65}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{5}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=13$$

Issostitwixxi 13 għal y f'x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{1}{2}\times 13+\frac{5}{2}$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'13.

$$x=\frac{13+5}{2}$$

Żid \frac{5}{2} ma' \frac{13}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=9,y=13$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3y maż-żewġ naħat.

$$-x+3y=30$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 30\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 30\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=9,y=13$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 3y maż-żewġ naħat.

$$-x+3y=30$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Biex tagħmel 2x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$-2x-\left(-y\right)=-5,2\left(-1\right)x+2\times 3y=2\times 30$$

Issimplifika.

$$-2x+y=-5,-2x+6y=60$$

Naqqas -2x+6y=60 minn -2x+y=-5 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x+y-6y=-5-60$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$y-6y=-5-60$$

Żid y ma' -6y.

$$-5y=-5-60$$

Żid -5 ma' -60.

$$-5y=-65$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=13$$

Issostitwixxi 13 għal y f'-x+3y=30. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x+3\times 13=30$$

Immultiplika 3 b'13.

$$-x+39=30$$

Naqqas 39 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=9$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=9,y=13$$