Issolvi {l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$2x-y-4x=-3$$

Ikkombina 2x u -4x biex tikseb -2x.

$$-2x-y=-3$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$-2x-y=-3$$

Żid y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=y-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'y-3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-y+3}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+y=\frac{1}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

Żid -\frac{y}{2} ma' y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

Naqqas \frac{3}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{1}{2}y=-1$$

Immultiplika ż-żewġ naħat b'2.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

Immultiplika -\frac{1}{2} b'-2.

$$x=1+\frac{3}{2}$$

Żid \frac{3}{2} ma' 1.

$$x=\frac{5}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$2x-y-4x=-3$$

Ikkombina 2x u -4x biex tikseb -2x.

$$-2x-y=-3$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Naqqas 4x miż-żewġ naħat.

$$2x-y-4x=-3$$

Ikkombina 2x u -4x biex tikseb -2x.

$$-2x-y=-3$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Biex tagħmel -2x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'-2.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

Issimplifika.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

Naqqas -2x-2y=-1 minn -2x-y=-3 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

Żid -2x ma' 2x. -2x u 2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-y+2y=-3+1$$

Żid -y ma' 2y.

$$y=-3+1$$

Żid -3 ma' 1.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x+y=\frac{1}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x-2=\frac{1}{2}$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{5}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$