Issolvi {l}{2x-x=4m+2}{x-2x=5m-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - x = 4 m + 2 } \\ { x - 2 x = 5 m - 5 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, m

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$m=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ikkombina 2x u -x biex tikseb x.

$$x=4m+2$$

Issostitwixxi 4m+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -x-5m=-5.

$$-\left(4m+2\right)-5m=-5$$

Immultiplika -1 b'4m+2.

$$-4m-2-5m=-5$$

Żid -4m ma' -5m.

$$-9m-2=-5$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-9m=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-9.

$$m=\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi \frac{1}{3} għal m f'x=4m+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=4\times \frac{1}{3}+2$$

Immultiplika 4 b'\frac{1}{3}.

$$x=\frac{4}{3}+2$$

Żid 2 ma' \frac{4}{3}.

$$x=\frac{10}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ikkombina 2x u -x biex tikseb x.

$$x=4m+2$$

Naqqas 4m miż-żewġ naħat.

$$x-4m=2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ikkombina x u -2x biex tikseb -x.

$$-x=5m-5$$

Naqqas 5m miż-żewġ naħat.

$$-x-5m=-5$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x-4m=2,-x-5m=-5$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), biex l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala l-problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 2-\frac{4}{9}\left(-5\right)\\-\frac{1}{9}\times 2-\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u m.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Ikkombina 2x u -x biex tikseb x.

$$x=4m+2$$

Naqqas 4m miż-żewġ naħat.

$$x-4m=2$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Ikkombina x u -2x biex tikseb -x.

$$-x=5m-5$$

Naqqas 5m miż-żewġ naħat.

$$-x-5m=-5$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x-4m=2,-x-5m=-5$$

Biex tagħmel x u -x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$-x-\left(-4m\right)=-2,-x-5m=-5$$

Issimplifika.

$$-x+4m=-2,-x-5m=-5$$

Naqqas -x-5m=-5 minn -x+4m=-2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-x+x+4m+5m=-2+5$$

Żid -x ma' x. -x u x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$4m+5m=-2+5$$

Żid 4m ma' 5m.

$$9m=-2+5$$

Żid -2 ma' 5.

$$9m=3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$m=\frac{1}{3}$$

Issostitwixxi \frac{1}{3} għal m f'-x-5m=-5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-x-5\times \frac{1}{3}=-5$$

Immultiplika -5 b'\frac{1}{3}.

$$-x-\frac{5}{3}=-5$$

Żid \frac{5}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-x=-\frac{10}{3}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-1.

$$x=\frac{10}{3}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{10}{3},m=\frac{1}{3}$$