Issolvi {l}{2x-7y=8}{y-2x=-3.20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 7 y = 8 } \\ { y - 2 x = - 3.20 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1.2$$

$$y=-0.8$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-7y=8$$

Żid 7y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=7y+8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(7y+8\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'7y+8.

$$x=\frac{7}{2}y+4$$

Issostitwixxi \frac{7y}{2}+4 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -2x+y=-3.2.

$$-2\left(\frac{7}{2}y+4\right)+y=-3.2$$

Immultiplika -2 b'\frac{7y}{2}+4.

$$-7y-8+y=-3.2$$

Żid -7y ma' y.

$$-6y-8=-3.2$$

Żid 8 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-6y=4.8$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$y=-0.8$$

Issostitwixxi -0.8 għal y f'x=\frac{7}{2}y+4. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{7}{2}\left(-0.8\right)+4$$

Immultiplika \frac{7}{2} b'-0.8 billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-\frac{14}{5}+4$$

Żid 4 ma' -\frac{14}{5}.

$$x=\frac{6}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{6}{5},y=-0.8$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&-\frac{-7}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 8-\frac{7}{12}\left(-3.2\right)\\-\frac{1}{6}\times 8-\frac{1}{6}\left(-3.2\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{6}{5},y=-\frac{4}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

Biex tagħmel 2x u -2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$-2\times 2x-2\left(-7\right)y=-2\times 8,2\left(-2\right)x+2y=2\left(-3.2\right)$$

Issimplifika.

$$-4x+14y=-16,-4x+2y=-6.4$$

Naqqas -4x+2y=-6.4 minn -4x+14y=-16 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-4x+4x+14y-2y=-16+6.4$$

Żid -4x ma' 4x. -4x u 4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$14y-2y=-16+6.4$$

Żid 14y ma' -2y.

$$12y=-16+6.4$$

Żid -16 ma' 6.4.

$$12y=-9.6$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'12.

$$y=-\frac{4}{5}$$

Issostitwixxi -\frac{4}{5} għal y f'-2x+y=-3.2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-2x-\frac{4}{5}=-3.2$$

Żid \frac{4}{5} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-2x=-\frac{12}{5}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-2.

$$x=\frac{6}{5}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{6}{5},y=-\frac{4}{5}$$