Issolvi {l}{2x-7y=-5}{5x+3y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 7 y = - 5 } \\ { 5 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-7y=-5,5x+3y=8$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-7y=-5$$

Żid 7y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=7y-5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(7y-5\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'7y-5.

$$x=\frac{7}{2}y-\frac{5}{2}$$

Issostitwixxi \frac{7y-5}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 5x+3y=8.

$$5\left(\frac{7}{2}y-\frac{5}{2}\right)+3y=8$$

Immultiplika 5 b'\frac{7y-5}{2}.

$$\frac{35}{2}y-\frac{25}{2}+3y=8$$

Żid \frac{35y}{2} ma' 3y.

$$\frac{41}{2}y-\frac{25}{2}=8$$

Żid \frac{25}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{41}{2}y=\frac{41}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{41}{2}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'x=\frac{7}{2}y-\frac{5}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{7-5}{2}$$

Żid -\frac{5}{2} ma' \frac{7}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-7y=-5,5x+3y=8$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{2\times 3-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-7\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{7}{41}\\-\frac{5}{41}&\frac{2}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\left(-5\right)+\frac{7}{41}\times 8\\-\frac{5}{41}\left(-5\right)+\frac{2}{41}\times 8\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=1,y=1$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-7y=-5,5x+3y=8$$

Biex tagħmel 2x u 5x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'5 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$5\times 2x+5\left(-7\right)y=5\left(-5\right),2\times 5x+2\times 3y=2\times 8$$

Issimplifika.

$$10x-35y=-25,10x+6y=16$$

Naqqas 10x+6y=16 minn 10x-35y=-25 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$10x-10x-35y-6y=-25-16$$

Żid 10x ma' -10x. 10x u -10x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-35y-6y=-25-16$$

Żid -35y ma' -6y.

$$-41y=-25-16$$

Żid -25 ma' -16.

$$-41y=-41$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-41.

$$y=1$$

Issostitwixxi 1 għal y f'5x+3y=8. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$5x+3=8$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x=5$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$x=1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=1,y=1$$