Issolvi {l}{2x-3y-10=0}{7y=-17-8x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 7 y = - 17 - 8 x } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 10 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$2x-3y=10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 8x maż-żewġ naħat.

$$7y+8x=-17$$

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-3y=10$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=3y+10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Issostitwixxi \frac{3y}{2}+5 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 8x+7y=-17.

$$8\left(\frac{3}{2}y+5\right)+7y=-17$$

Immultiplika 8 b'\frac{3y}{2}+5.

$$12y+40+7y=-17$$

Żid 12y ma' 7y.

$$19y+40=-17$$

Naqqas 40 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$19y=-57$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'19.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'x=\frac{3}{2}y+5. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+5$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'-3.

$$x=-\frac{9}{2}+5$$

Żid 5 ma' -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 10 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$2x-3y=10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 8x maż-żewġ naħat.

$$7y+8x=-17$$

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 10+\frac{3}{38}\left(-17\right)\\-\frac{4}{19}\times 10+\frac{1}{19}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Ikkunsidra l-ewwel ekwazzjoni. Żid 10 maż-żewġ naħat. Xi ħaġa plus żero jirriżulta f'dan in-numru stess.

$$2x-3y=10$$

Ikkunsidra t-tieni ekwazzjoni. Żid 8x maż-żewġ naħat.

$$7y+8x=-17$$

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Biex tagħmel 2x u 8x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'8 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$8\times 2x+8\left(-3\right)y=8\times 10,2\times 8x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

Issimplifika.

$$16x-24y=80,16x+14y=-34$$

Naqqas 16x+14y=-34 minn 16x-24y=80 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$16x-16x-24y-14y=80+34$$

Żid 16x ma' -16x. 16x u -16x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-24y-14y=80+34$$

Żid -24y ma' -14y.

$$-38y=80+34$$

Żid 80 ma' 34.

$$-38y=114$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-38.

$$y=-3$$

Issostitwixxi -3 għal y f'8x+7y=-17. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$8x+7\left(-3\right)=-17$$

Immultiplika 7 b'-3.

$$8x-21=-17$$

Żid 21 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$8x=4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$