Issolvi {l}{2x-3y=4}{4x+y=-6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 4 } \\ { 4 x + y = - 6 } \end{array} \right.$$

Solvi għal x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$2x-3y=4,4x+y=-6$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$2x-3y=4$$

Żid 3y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=3y+4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+4\right)$$

Immultiplika \frac{1}{2} b'3y+4.

$$x=\frac{3}{2}y+2$$

Issostitwixxi \frac{3y}{2}+2 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 4x+y=-6.

$$4\left(\frac{3}{2}y+2\right)+y=-6$$

Immultiplika 4 b'\frac{3y}{2}+2.

$$6y+8+y=-6$$

Żid 6y ma' y.

$$7y+8=-6$$

Naqqas 8 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7y=-14$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'x=\frac{3}{2}y+2. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

Immultiplika \frac{3}{2} b'-2.

$$x=-3+2$$

Żid 2 ma' -3.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$2x-3y=4,4x+y=-6$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 4+\frac{3}{14}\left(-6\right)\\-\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-1,y=-2$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$2x-3y=4,4x+y=-6$$

Biex tagħmel 2x u 4x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'4 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\times 4,2\times 4x+2y=2\left(-6\right)$$

Issimplifika.

$$8x-12y=16,8x+2y=-12$$

Naqqas 8x+2y=-12 minn 8x-12y=16 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$8x-8x-12y-2y=16+12$$

Żid 8x ma' -8x. 8x u -8x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-12y-2y=16+12$$

Żid -12y ma' -2y.

$$-14y=16+12$$

Żid 16 ma' 12.

$$-14y=28$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-14.

$$y=-2$$

Issostitwixxi -2 għal y f'4x+y=-6. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$4x-2=-6$$

Żid 2 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=-1$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-1,y=-2$$